傅里叶级数 知识回顾

一、三角级数

形如

的级数叫做三角级数。系数皆为常数。

二、三角函数系的正交性

三角函数的基本函数序列:

称为三角函数系

正交性是指其中任意不同两项乘积在-π到π的闭区间上积分为零。

三、欧拉-傅里叶系数公式

四、傅里叶级数的收敛问题

狄利克雷收敛定理 为周期的周期函数,若在π的闭区间上只有有限个第一类间断点、有限个极值点,则函数的傅里叶级数收敛

连续点处,和函数值等于原函数值;间断点处,和函数值等于间断点左右极限值的平均。

限制定义区间的函数可进行区间延拓以展成傅里叶级数。如仅在-π到π的闭区间上定义的函数做周期延拓。

五、奇偶函数的傅里叶函数

奇函数则an=0,偶函数则bn=0。奇函数的级数为正弦级数,偶函数的级数为余弦级数。

六、奇延拓与偶延拓

半边区间有定义,先做奇延拓或偶延拓,再做周期延拓。得到正弦级数和余弦级数。

七、任意周期傅里叶级数

π向l变换。得到新的系数公式。

八、复数形式傅里叶级数

系数合写为

级数

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